As dez equações mais belas e importantes da História (parte 2/2)

Continuando o artigo anterior sobre equações fundamentais na História da Ciência, vamos às cinco finais, sem ordem de importância...

• Conheça a beleza e elegância da Equação de foguete de Tsiolkovsky
• É feito com espelhos, parece magia, mas é tecnologia quântica

Interpretação do CoPilot do que seria uma ilustração deste artigo. (Crédito: CoPilot / Flux)

6 – Equação de Schrödinger

Fruto da mente brilhante de Erwin Schrödinger, essa equação está para a Mecânica Quântica como as equações de Newton estão para a Física Clássica. Ela descreve não uma partícula, mas uma função de onda, ψ (Psi), que representa a probabilidade de uma partícula existir na posição x no momento t do tempo.

Na Mecânica Quântica não há certezas, temos ondas de probabilidade; em alguns locais a energia é alta o suficiente e as condições são propícias, o que aumenta a probabilidade de existir uma partícula ali, naquele momento. A Equação de Schrödinger descreve perfeitamente um elétron orbitando um átomo, como uma nuvem de probabilidades, e onde essa probabilidade é mais alta, é onde o elétron “está”.

Uma equação relativamente simples é capaz de descrever algo complexo como um átomo, prever como fótons reagirão ao colidir com matéria, e até fenômenos como tunelamento quântico, um fenômeno que é a mais pura macumabaria quântica.

Primeira observação direta da função de onda de um átomo de Hidrogênio. (Crédito: Hydrogen Atoms under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States - cuidado, PDF)

Imagine que você está atirando uma bola de borracha contra uma parede. Ela quica, volta, normal. Uma vez a cada um bilhão de lançamentos, a bola desaparece e ressurge, do outro lado da parede. Ela não atravessou a barreira, ela apenas ficou em um estado onde a probabilidade de existir do seu lado era menor do que a probabilidade de existir do outro lado.

Isso não é física teórica, é um fenômeno usado em Transístores de Efeito de Campo, e você provavelmente tem um monte em alguma gaveta; são a base da memória Flash usada em Pendrives e celulares.

7 – Transformada de Fourier

Essa talvez seja uma das equações mais usadas nesta lista. Você está usando agora mesmo, para assistir xvid-digo, Netflix, mas ela começou bem antes.

Em 1822 Jean-Baptiste Joseph Fourier afirmou que o resultado de qualquer equação pode ser representado por uma senoide, algo que já vinha sendo suspeitado desde os gregos, que usavam harmônicas para calcular eclipses. As curvas, não as gaitas.

Kepler usou Fourier, Gauss usou Fourier, e matemáticos aprimoraram os conceitos e as equações, que hoje têm usos que mesmo esses gênios nunca conseguiriam imaginar.

Como funciona a Transformada de Fourier

O conceito é até simples: Imagine uma música, ela é composta de milhares de notas, com freqüências e intensidades variadas. O que Fourier descobriu é que é possível isolar freqüências significativas, transformá-las em curva, e a informação é preservada, mesmo ocupando uma fração do espaço original.

Ao invés dos valores de cada frequência a cada unidade de tempo, você guarda uma fórmula para uma onda senoidal, que associada a centenas, ou mesmo milhares de outras, representará perfeitamente o sinal original.

A beleza da Transformada de Fourier é que ela não serve só para música. É usada para compressão de imagens, vídeos, análise de dados, cálculos de marés, navegação espacial, astronomia... os campos são tantos que é até chato listar todos.

...só que não

Aqui, um pequeno detalhe: na verdade nós não usamos a Transformada de Fourier, toda nossa tecnologia é baseada na Transformada Rápida de Fourier, um algoritmo implementado pela primeira vez em 1965 e publicado no paper An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, de James Cooley e John Tukey. Exceto que eles não criaram a Transformada Rápida, ela foi criada antes mesmo de Fourier ter criado a Transformada.

Calma, eu explico.

Fourier apresentou sua idéia em 1822, mas seu primeiro uso foi em 1805, quando Carl Friedrich Gauss descobriu a Transformada, aprimorou na Transformada Rápida e a usou para cálculos astronômicos, mas não achou que fosse algo importante, e a esqueceu em meio a anotações, não achou que valia um paper. Como resultado Fourier redescobriu a transformada 17 anos depois, e a rápida permaneceu ocultar por 160 anos.

As vantagens? Digamos que a Transformada Rápida é dez mil vezes mais rápida que a normal, por isso que minha GPU nem sua, quando estou jogando em UHQ e capturando e comprimindo vídeo em tempo real, a 60fps.

8 – Equações de Navier-Stokes

Criadas por Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes na primeira metade do Século XIX, essas equações são pura elegância. São a base da Dinâmica dos Fluídos, essas equações conseguem descrever e prever o fluxo do sangue em suas artérias, o caminho de um furacão, a eficiência da asa de um avião e a fumaça em CGI de um caça X-Wing alvejado pelo Império.

São equações simples e elegantes que descrevem como um fluído se move quando empurrado, aquecido ou bloqueado. Elas ajudam a calcular martelo hidráulico, e a simular a Grande Mancha Vermelha de Júpiter.

Entendedores entenderão (Crédito: Qwen Edit)

E você só precisa de quatro parâmetros fundamentais:

• v = velocidade do fluído
• p = pressão (empurra o fluído)
• μ = viscosidade (o "atrito" do fluído)
• f = gravidade, vento, etc.

Com esses parâmetros e as Equações de Navier-Stokes, você simula o fluxo de ar em turbinas e hélices, a eficiência aerodinâmica (cx) de um carro, as propriedades de uma válvula cardíaca, ou o comportamento de metal líquido usado como refrigerante nos reatores nucleares de alta performance, como os submarinos soviéticos classe Alfa.

9 – Teorema de Bayes

Thomas Bayes (1701-1761) era um pastor presbiteriano, estatístico e filósofo inglês. Ele nunca soube da importância de seu trabalho, sua maior contribuição sequer foi publicada em vida, ele achou que era só uma curiosidade menor, mas graças aos esforços de sua viúva e Richard Price, chegamos ao Teorema e a Equação de Bayes, algo fundamental nos dias de hoje.

Essa equação é usada no filtro de spam de seu email, nos sistemas de mira de armamentos sofisticados, no algoritmo da Netflix de recomendação de conteúdo, nos sistemas médicos para prever incidência de doenças, nos sistemas de meteorologia para refinar previsões (menos no Rio de Janeiro), nos sistemas de detecção de fraude da sua operadora de cartão de crédito, no LHC e nos sistemas de IA, como Grok e ChatGPT.

O que é o Teorema de Bayes afinal?

Laplace disse que é aplicar o senso comum ao Cálculo. Alguns dizem que é a mais Humana das Equações, ela calcula a probabilidade de algo acontecer DADO outro algo, por exemplo a chance de um animal que passou galopando pela mi

nha janela ser um cavalo.

Com essas informações, a Probabilidade P do animal ser um cavalo, tendo como evidência o barulho de bicho galopando, é basicamente 100%, mas vamos introduzir (epa!) mais uma evidência: Eu moro perto de um zoológico com zebras. Mesmo assim, 99% dos animais galopantes da região são cavalos.

Com esses novos dados, as chances de uma zebra fugir são pequenas, então a probabilidade do animal ser um cavalo ainda é de 99%.

Não é IA, é só esquisito mesmo. (Crédito: Reprodução Internet)

Eis que eu percebo, acho que vi listras no animal. A Equação de Bayes é revolucionária pois ela “muda de idéia”, com novas evidências, assim a probabilidade do animal ser um cavalo vai mudar. Existem cavalos mais ou menos zebrados, como o Apaluza, aquela raça esquisita. Então a chance de ser um cavalo zebrado não é nula.

Exceto que, usando a Equação de Bayes, a probabilidade alta de ser um cavalo dada a quantidade grande de cavalos em volta cai, dada a baixíssima probabilidade de ser um cavalo listrado. Com isso o 1% de chance do animal ser uma zebra sobe para... 50%.

O Teorema de Bayes também é muito exemplificado com doenças. Digamos que você acordou indisposto, e está com suspeita de ter sido picado por um marfagato e agora está com priapismo escapular.

É uma doença que afeta 1 em cada 1000 pessoas.

O teste tem 99% de taxa de acerto.

O teste tem, entretanto, 5% de falsos positivos.

Você faz o teste, deu positivo, ferrou, está doente, certo? 99% de acerto...

Exceto que não funciona assim.

Dentro de um grupo de mil pessoas, sem maiores informações, a chance de você ter a doença é de 0,001%. Com 5% de falsos positivos, se seu teste der positivo você tem 1/50 de chances de ter a doença.

Aplicando a Equação de Bayes, fatorando os dados:

• Probabilidade inicial de ter a doença (antes do teste)
• Prior Negativo - Probabilidade de não ter a doença
• Verossimilhança (Sensibilidade) Se você tem a doença, chance do teste dar positivo
• Falso Positivo - Se você não tem a doença, chance do teste dar positivo
• Evidência Total - Probabilidade geral de dar positivo (qualquer pessoa)

O resultado é...

1,94% de chances de seu teste positivo indicar que você está realmente com priapismo escapular.

Isso não é um exercício teórico, é algo que acontece com dados reais, por mais não-intuitivo que pareça. E por isso que valores como 95% de acerto real parecem ótimos, mas são insuficientes. Pense na equação de Bayes aplicada a segurança aérea, esses 95% seriam inaceitáveis.

E os LLMs?

Os Groks da vida não usam diretamente Bayes em seu treinamento ou execução, mas a beleza das equações é que a rede neural resultante do treinamento desenvolve naturalmente um processo de Raciocínio Bayesiano Implícito. O conjunto de pesos e parâmetros funciona segundo os princípios de Bayes, aprimorando a resposta e a probabilidade de acerto, à medida que novos dados são introduzidos no sistema. É uma prova de que matemática é Universal e Bayes estava certo em tudo, menos em menosprezar a própria descoberta.

10 - A Equação de Foguete de Tsiolkovsky

Konstantin Tsiolkovsky (1857-1935) foi um pioneiro de foguetes russo, muito antes de Von Braun e Goddard, ele já sonhava com foguetes, viagens interplanetárias e desenvolvia conceitos como missões orbitais e foguetes de múltiplos estágios.

Entre seus trabalhos está a lindamente simples Equação de Foguete.

Ela determina a variação de velocidade (Δv), ou Delta-V, que um foguete consegue atingir, dada sua massa e a velocidade de ejeção de seu combustível.

Todo foguete funciona com base em Isaac Newton, ação e reação. Quando o motor expele gases em alta velocidade, esses gases exercem uma força contra o foguete, empurrando-o na direção oposta. Essa força é determinada pela massa dos gases ejetados, e sua velocidade. De novo, Newton, F = m * a.

Em um foguete a coisa complica um pouco, pois ele está levando a massa do combustível, que é subtraída da massa total, então a aceleração não é constante. Ao mesmo tempo, se você quer mais velocidade, você precisa levar mais combustível, só que esse combustível extra torna mais custoso acelerar o conjunto foguete/combustível.

A Equação de Tsiolkovsky determina os limites práticos para todo e qualquer foguete - dos mais avançados e ainda teóricos foguetes nucleares, dos propulsores iônicos usados em satélites Starlink, até um simples buscapé de festa junina. Todos seguem as mesmas regras, impostas pela tirania da Equação de Foguete, como dizia Arthur C. Clarke.

Dentre todas as equações mostradas, essa está entre as mais simples.

Mapa de Delta-V necessário para os principais corpos do Sistema Solar. Com isso e a Equação de Tsiolkovsky você vai a qualquer lugar. (Crédito: Wikiimedia Commons)

O Δv equivale à velocidade dos gases de exaustão (v_e) multiplicada pelo logaritmo natural da razão entre a massa total inicial do foguete (com combustível) e a massa final (após queimar todo o propelente).

Não importa o país, a empresa, a tecnologia, até avançarmos a ponto de conseguirmos violar as Leis da Física, é essa equação que determinará a capacidade de nossas naves. Mas a Rocinante sempre será a melhor, claro.